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一、毕达哥拉斯定理
《周髀算经》中记有商高同周公的对话：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五”，被认为是最早表述勾股定理（也称商高定理）的中国数学文献。「折矩」一词可理解为「直角」。
希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为勾股定理是毕达哥达斯（Pythagoras，公元前五百年左右的人）最早发现的，故称之为「毕达哥拉斯定理」。
毕达哥拉斯比周公晚约五百年。但据考证，《周髀算经》大约是战国到西汉间的托古之作，和托名黄帝的中医经典《黄帝内经》成书时间相近。根据欧几里德的说法，毕达哥拉斯已经确认了“直角三角形两个直角边各自平方的和等于斜边的平方”：a2+b2=c2。
汉末三国时期的赵爽提到“勾股幂合以成弦幂”，已是元始之后约两百年了。《周髀算经》之于毕达哥拉斯定理有如曹冲秤象之于阿基米德浮力定律。
曹冲秤象当然符合浮力定律，但并没有明确指出：“物体排开的水的重量等于水对物体的浮力”。阿基米德泡澡时直接感受到水对自己身体的浮力，忽然悟出了浮力定律。他一时忘乎所以，光着身子跳出浴缸大喊“尤瑞卡！”（希腊语“解出来啦！”）。
阿基米德这句话从此成了典故。欧盟振兴科技的庞大计划就命名为“尤瑞卡”。而中国的类似计划却命名为863，只因曹冲秤象时什么都没喊。
孔已己知道茴香豆的「茴」字有四种写法。勾股定理有小四百种证法。除了“勾三股四弦五”外，毕氏定理还有许多整数解。在a<100并且b<100的一万对组合中有126对的平方和本身也是一个整数的平方。如果扣除a^2+b^2=c^2和b^2+a^2=c^2可以互换的一半（比如3^2+4^2=5^2和4^2+3^2=5^2），则还有63对。如果把诸如a^2+b^2=c^2和(na)^2+(nb)^2=(nc)^2，各项乘相同的整数倍（比如3^2+4^2=5^2和6^2+8^2=10^2）的数组中只保留最小的一组，则还剩下18组整数解。其中每一组解分别代表互不相似的直角三角形的三条边。
Obs a b c
1 3 4 5
2 5 12 13
3 7 24 25
4 8 15 17
5 9 40 41
6 11 60 61
7 12 35 37
8 13 84 85
9 16 63 65
10 20 21 29
11 20 99 101
12 28 45 53
13 33 56 65
14 36 77 85
15 39 80 89
16 48 55 73
17 60 91 109
18 65 72 97
二、费尔马大定理
古希腊数学家欧几里德完备了由毕达哥拉斯定理开创的平面几何。刁番都（公元两百五十年左右的人）则更关心毕达哥拉斯定理的整数解。
费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）是法国司法部门工作人员。当时为了司法公正，规定法官不得参加社交活动，以避免偏见。这与中国历代公案小说提倡的法官靠微服私访洞察案情来办案的做法正好相反。偏见比无知更危险。
下班后百无聊赖的费尔马便把数学当成了消遣。1637年，费尔马在读因文艺复兴而重新被发现的刁番都名著《算术》残本时，在书中第11卷第8命题关于不定方程x^2+y^2=z^2的正整数解这页的空白处写道：“任何一个数的立方，不能分成两个数的立方之和；任何一个数的四次方，不能分成两个数的四次方之和。一般来说，不可能将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和。我已经得到了这个定理的绝妙证明；可惜这里空白太小，写不下了。”
费尔马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年，他儿子发表了费尔马的页端笔记，世上才知道有这么一个命题。后来，人们就把这一论断称为费尔马大定理或最后定理。用数学语言表达应是：形如x^n+y^n=z^n的方程，当时n>2时没有整数解（x,y和z不可能同时都是整数）。
业余数学爱好者费尔马这么一句“可惜这里的空白太小，写不下了”，难倒了之后近三百六十年间所有的数学家。没人能再次找到费尔马的证明。
十八世纪的大数学家欧拉在那本特殊版本的刁番都《算术》其他空白处发现费尔马对4次幂的含糊证明。欧拉厘清了这个证明，并证明了3次幂的无解。
费尔马写下那句话大约过了两百年，勒让德、狄利克雷、拉梅和法国女数学家热尔曼等人相继证明了5次幂和7次幂的无解（3次幂的无解可延伸到6次、9次…等，3的整数倍次幂的无解）。
1844年德国数学家库莫尔提出了“理想数”概念，证明了对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立。
法国科学院曾先后两次设立过巨额奖金悬赏费尔马大定理的证明。1847年，拉梅在法国科学院的讲台上宣称将在科学院杂志上发表一个关于费尔马大定理的完整证明。紧接着柯西也上台宣布自己也有一个完整证明要发表。
三周后，两人各自声明已经把加盖了密封印信的证明稿存入科学院，等待公平的当众开封裁决。不料刚过一个月，法国科学院就收到了库莫尔的信。库莫尔根据拉梅和柯西言谈中露出的蛛丝马迹，指出两人都犯了同样的逻辑错误。
拉梅看到库莫尔的信后认栽。柯西一开始不认帐，并连篇累牍地发文狡辩。但十年后，他给法国科学院写了一份有关费尔马大定理的信，承认了库莫尔指责的正确，并建议撤销这个智力体操比赛的奖项，把奖金奖给库莫尔。
柯西是极限论的发明人，为人自负、好斗，除了这次以外从不认错，是数学家圈子里的公敌。
二十世纪初的德国实业家沃尔夫斯克勒因失恋而决定自杀。他选定了自杀的日子，准备在子夜钟声响起时开枪。沃尔夫斯克勒整理好了死前所有需要交代的事：商务文件、遗嘱，并给亲友写了信。由于他的效率太高，处理完所有事情后还没到子夜时限。为了消磨时间，他翻阅了一篇有关证明费尔马大定理的论文，却发现了其中的一处错误。等他经过自己的推演，厘清了这个错误后，天已放亮，坐失了自己选定的自杀时机。
1908年，沃尔夫斯克勒把十万马克（当时约值于160万美元）遗产赠给德国哥丁根科学会，悬赏费尔马大定理的证明，有效期100年（1908-2007）。但哥丁根科学会声明不负责审稿。
当时德国有个《数学与物理文献实录》杂志自报奋勇，愿意鉴定申报的证明。到1911年初为止，该杂志共审查了111个“证明”，无一不是错的；后来实在忍受不了这个沉重的负担，才不得不宣布停止一切相关审稿。但因十万马克在当时的价值仍很可观，而费尔马大定理的题意连小学生都能听懂，证明的浪潮仍是汹涌澎湃。不仅数学家，连工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民，都钻进这个题眼里。一时间各种刊物公布的证明足有上千。当然无一正确。
虽然经过两次世界大战，货币大幅度贬值，当初的十万马克已所值无几。但好奇心与野心仍鼓舞着一代又一代痴迷者乐此不疲。
1993年6月21日至23日，英国剑桥大学召开国际数论讨论会。主持人约翰•寇兹（John Coates）教授邀请自己过去的博士生、当时已经入籍美国的普林斯顿大学教授安德鲁•威尔斯（Andrew Wiles）与会。原本寇兹给了威尔斯一个小时的报告时间。但威尔斯要求三个小时。结果还是每天一小时，但可以讲三天。威尔斯报告的题目是《模形式、椭圆曲线和迦罗瓦表达（Modular Forms, Elliptic Curves, and Galois Representations）》，让人搞不清他要讲什么。
第一天大约有20位数学家来听他的报告。内容虽然精彩，但是人们还是不知道下一步会讲到哪里去。
第二天，威尔斯继续开讲，200页手稿的公式、推演被搬到黑板上。满屋子的听众都在猜测推论是什么。威尔斯讲完夹起手稿就走，不回答任何问题。
最后一天，会场爆满，门里门外站满了人，很多人带了照相机，人们预期会有重大事件发生。当威尔斯证明了极其复杂的谷山-志村猜想之后，与会者已经知道他下一步打算讲什么了。
1986年夏，伯克莱加大的瑞柏特证明了费尔马大定理包含在“谷山丰-志村五朗猜想 ”之中。童年就痴迷于此的威尔斯正是从那时开始踏上了潜心七年的攻克费尔马大定理的征途。
最后，当威尔斯若无其事地说：“这就证明了费尔马最后定理。我想，讲到这儿就行了。”掌声顿时惊暴全场，照相机响成一片。同行纷纷上前握手祝贺。
6月24日纽约时报头版标题：「终于可以对古老的数学之谜大喊“尤瑞卡”了！（At Last, Shout of ‘Eureka’ In Age-Old Math Mystery）」。威尔逊一举成名。但随后发现他的证明仍有漏洞。
1994年9月19日，威尔斯和自己的学生查尔斯.泰勒找到了修补漏洞的办法，并用联邦快递（Fedex）从速投寄给全世界顶级的有关专家鉴定。第一次仍被发现不够完美。第二次快递之后终于通过鉴定。
美国《数学年刊》1995年5月号第142卷上发表了威尔斯的论文，「模椭圆曲线和费尔马大定理」。全文共五章，130页，占满了该期全卷。此时距离费尔马在书页空白处写下那句话已经过去了358年。
1997年6月27日，沃尔夫斯克勒委员会如约付给威尔斯十万马克奖金（时值五万美元），距离百年悬赏的截止期还差十年。
威尔斯在证明过程中使用的谷山-志村猜想、迦罗瓦表达、科利瓦金-弗莱奇方法，还有模形式等一系列数学技巧，在费尔马时代都不存在。如此繁复的证明，仍无法让人相信当年费尔马写在书页空白处的那句“我已经得到了这个定理的绝妙证明”确是事实。估计费尔马本人是费尔马大定理证明史上第一个出错的人。
可怜谷山-志村猜想的那位日本人谷山丰1958年订婚不久后自杀。过了几个月，他的未婚妻也随之而去，留下遗言：“既然他已经去了，我也必须和他在一起。”-数学界也有殉情故事。
威尔斯1993年的报告被指出漏洞时，老年的志村五郎坚信威尔斯的思路是对的。
三、哈代
英国数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877－1947）最初对数学并无兴趣。大约15岁那年，他读了一本描述剑桥大学三一学院大学生活的书。三一学院(Trinity College)得名于“圣父、圣子、圣灵；三位一体”，是牛顿进修过的地方。该书作者在院士资格的数学考试中得到第二名而成为院士，获准进入高级组合室（Senior Combination Room），一面喝着葡萄酒，吃着美食，一面惋惜另一位好友的功亏一匮。
哈代自己说：“该书最后进入高级组合室的一幕，简直把我迷死了。从此以后，直到我自己也成为三一学院院士之前，数学对于我来说，就是籍以敲开进入高级组合室大门的工具”。
哈代说，他看不出该书作者有多聪明；既然该作者能做到的事，那么自己也能做到。
纯粹因为好玩，哈代一个不留神失足成了数学家。
但等哈代进入三一学院之后才发现这个竞争院士的考试其实只是解一连串无聊的难题。有专门老师训练学生考试技巧，和如今中国的高考恶补相似。等哈代通过该考试成为院士，获准进入高级组合室之后，他便开始力倡改革这种考试方式，使之转向真正的数学研究。
中国从隋朝大业元年（605）开科考试，至清光绪三十一年（1905）废科举的一千三百年间，以每五年一大比粗估，大约有200到300届考试。以每科取进士百名粗估，大约能有两万到三万名进士。凡金榜提名者，无一对科举提出不管是形式上还是内容上的批评，更何况改进。而榜上无名者却有揭竿而起，试图推翻组织科举考试的朝廷者。
落第秀才洪秀全索性连圣贤书都不再读而改宗天主教，把人家“圣父、圣子、圣灵；三位一体”给改成“天父、天兄、天王；太平天国”的三位一体，并自称是耶稣的弟弟，站在天父“爷火华”的左边（圣经说耶稣站在上帝宝座右边）。文革中更是众多本不可能通过高考的张铁生者流进入大学搞教育革命。
象哈代那种先拔了院士晋阶考试头筹，然后再回头力倡改革该项考试者，中国一个没有；都是要么进士及第捍卫科举；要么落第回乡扯旗造反。最近去世的任继愈老先生曾提出恢复科举，结果不但没人肯听，还被当成了笑话。
哈代有些怪癖。他不照镜子，家里也没有镜子。他住进旅馆的第一件事就是拿条毛巾把镜子遮住。他也不喜欢照相，平生只照过五次。根据现在流传下来的照片看，哈代长得英俊清秀，当得帅哥。但他不结婚，也没有女朋友。他妹妹也不结婚，一辈子料理哥哥的生活。哈代着迷于体育比赛，尤其醉心板球；有板球赛必看，有板球新闻必读；尤喜神聊板球。他不用表和钢笔；除非紧急情况，不用电话。
哈代与李特伍德合作三十余年，平生发表的大约四百篇论文里有一百余篇是伙同李特伍德合写的。
哈代是纯得不能再纯的纯数学家，曾无懈可击地证明了质数无限多和2的平方根是无理数，却对应用数学毫无兴趣。他在「一个数学家的自辩(A Mathematician's Apology)」中说，纯数学有美感。而只有美的东西才能永恒。他认为应用数学并无美感，故不可能永恒，虽然有用，但也同样有害。二次大战时，他的长期合作者李特伍德也参与了军方研究项目。反战的哈代颇有微辞：“象李特伍德这么好的数学家都没办法使弹道学变得更体面些，遑论他人？…纯数学固然无用，但也无害呀。”
尽管如此，哈代还是没能逃脱应用数学的“厄运”。1908年，当人们正在讨论族群中显性因子和隐性因子分布的比例是否会因世代相传而有所改变时，哈代给「科学」杂志写了封信，三言两语就把问题说清楚了。这就是著名的哈代-温伯格定理，--任何数量遗传系的大学生都必修的应用数学。
哈代死后，有人特地收集哈代数学在各个领域获得的应用，包括哈代-温伯格定理和用在密码学上的数论，出了一本书。因为哈代生前太爱开玩笑并挤兑应用数学，故书名就叫最令哈代气短的《应用数学家哈代》。
自从徐迟把陈景润写进报告文学，哥德巴赫猜想便广为中国人所知。1742年普鲁士数学教师哥德巴赫写给瑞士大数学家欧拉的信中提出一个猜想：“任一大于或等于4的偶数都可写成两个质数之和”。比如
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
…
100 = 3 + 97
…
简称1+1。这里的1代表一个质数。
顺便说一句，哥德巴赫猜想最初表述为“任一大于或等于5的整数都可写成三个质数之和”。质数定义为“仅能被1和自身整除的数”。因1本身也符合这个条件，故早期1也算质数。但因1的本身和1重合，后来数学界又摒1于质数之外，就如前几年天文学界摒冥王星于九大行星之外，《水浒》摒晁盖于108将之外似的。从那以后，哥德巴赫猜想便采用了现在这种表述。
除了2以外，所有质数都是奇(单)数。因为偶数都能被2整除。任何偶数都可以分为两个奇数的和，这没必要证明。但这两个奇数都可以是质数，便是必须要证明的哥德巴赫猜想。
因哥德巴赫猜想难以证明，多年来数学家采用迂回战术，从外围层层突破，先后证明出…1+5、1+4、1+3、1+2，似是攻到了敌方坚守的阵地前沿。但好像陈景润证明的1+2仍有漏洞，未被国际数学界所承认。
1900年希尔伯特在巴黎国际数学家大会上开列出的23个未解题中与哥德巴赫猜想并列的还有黎曼猜想。黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826～1866)是高斯的学生。爱因斯坦广义相对论说的时空弯曲，用的就是黎曼几何。
解析数论有个Zeta（ζ）函数。如果用π(n)来表示小于n的所有质数（素数）的个数，则质数出现的频率π(n)/n趋于n的自然对数的倒数。
Lim[π(n)/n]=1/ln(n)
n→∞
没什么规律的素数论和解析函数联系了起来。
下面是10000以内1230个质数的部分黎曼ζ函数值：
质数n π(n) π(n)/n 1/ln(n) π(n)/n:1/ln(n)
1 1 1.000000 ∞ 0
2 2 1.000000 1.442695 0.693147
3 3 1.000000 0.910239 1.098612
5 4 0.800000 0.621335 1.287550
7 5 0.714286 0.513898 1.389936
11 6 0.545455 0.417032 1.307943
13 7 0.538462 0.389871 1.381127
17 8 0.470588 0.352956 1.333277
19 9 0.473684 0.339623 1.394734
23 10 0.434783 0.318929 1.363258
67 20 0.298507 0.237830 1.255132
109 30 0.275229 0.213158 1.291197
167 40 0.239521 0.195389 1.225867
227 50 0.220264 0.184333 1.194923
277 60 0.216606 0.177809 1.218199
347 70 0.201729 0.170960 1.179979
401 80 0.199501 0.166835 1.195803
461 90 0.195228 0.163042 1.197410
523 100 0.191205 0.159755 1.196861
1217 200 0.164339 0.140763 1.167485
1979 300 0.151592 0.131746 1.150634
2731 400 0.146466 0.126384 1.158905
3559 500 0.140489 0.122291 1.148811
4397 600 0.136457 0.119208 1.144691
6131 800 0.130484 0.114664 1.137969
6991 900 0.128737 0.112964 1.139628
7907 1000 0.126470 0.111414 1.135134
8821 1100 0.124702 0.110073 1.132908
9721 1200 0.123444 0.108908 1.133469
9803 1210 0.123432 0.108809 1.134391
9883 1220 0.123444 0.108713 1.135511
9973 1230 0.123333 0.108606 1.135605
黎曼猜想是一个关于ζ函数性质的猜测，不太容易用非数学语言叙述，故也没什么中学生胆敢自报奋勇求证。如果把黎曼猜想比作大学生作业的话，哥德巴赫猜想就相当于中学生作业，费尔马大定理好比小学生作业。
当年希尔伯特被问到，如果他忽然睡着了，五百年后醒过来，第一个想知道的是什么事？
希尔伯特说，他第一个想知道的就是黎曼猜想到底证出来没有。
哈代是个无神论者，经常和命运开玩笑。每次访问丹麦数学家玻尔（H.Bohr，1887－1951；物理学家N.Bohr之弟）后，要乘船渡过波涛汹涌的北海回国。每次登舟前，哈代都会给玻尔寄个明信片，上面写道：“我已经证明了黎曼猜想”。
明信片的空白当然太小。证明过程自然写不下了。
因为哈代和玻尔都在求证黎曼猜想的前沿。以哈代的数学功力真有可能证出黎曼猜想。如果他不幸遭遇海难，则因死无对证，后世无法否认（当然也没法确认）哈代真证出了黎曼猜想。而如果平安到家，哈代又何妨坦承寄给玻尔的明信片不过是又一次开费尔马式的玩笑，无伤大雅。
1947年哈代病倒了。皇家科学院准备颁发给他最高荣誉的考伯雷奖章。他跟老友斯诺说：“我已经接近人生的终点。当大家匆忙决定给你一个最高荣誉时，只可能有这么一种理解。”
1947年12月1日预定颁奖的当天，玩世不恭的哈代离开了人世，和准备给他颁奖的所有人开了最后一个玩笑。
有人曾问及哈代平生对数学的最大贡献是什么。他说是发现了印度数学怪才拉马努金。他还曾被问及平生最大的遗憾是什么。他说是没能证出黎曼猜想。“出师未捷身先死，常使英雄泪满襟”…。但这不符合哈代的性格。
2000年5月24日，美国克雷数学研究所仿照100年前希尔伯特的做法提出千禧年新的七大数学难题。每题悬赏一百万美元。当年希尔伯特提出的23道题中仅有黎曼猜想一道再度入选。
20090818，满山秋色
*文中细节主要参考台大数学系教授曹亮吉发表在科学月刊上的文章。特此申明。
